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1.4 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

In der Realität gibt es nicht nur gleichförmige Bewegungen.

Beispiel: Ein Auto muss erst auf eine Geschwindigkeit beschleunigen, bevor es eine gleichförmige Bewegung ausführt.
Bewegungen werden als beschleunigte Bewegungen bezeichnet, wenn eine Änderung der Geschwindigkeit vorliegt. Sie werden als gleichmäßig beschleunigte Bewegungen bezeichnet, wenn in gleichen Zeitabschnitten gleiche Änderungen der Geschwindigkeit vorliegen.

Dies nennt man Beschleunigung.
Hier wird nur die gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung genauer betrachtet. Eine Bewegung ist geradlinig, wenn die Richtung aller Strecken gleich ist.

Bei der gleichmäßig beschleunigten geradlinigen Bewegung ändert sich weder die Richtung noch der Wert der Beschleunigung des Körpers.

Im Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm wird eine Ursprungsgerade dargestellt, welche die Steigung \( \frac{ \Delta v }{ \Delta t } \) besitzt. Bei einer konstanten Steigung ist die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeiteinheit und damit die Beschleunigung konstant. Daher wird im Zeit-Beschleunigungs-Diagramm eine Parallele zur x-Achse angezeigt.

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Beschleunigung

Wie schon angesprochen ist die Beschleunigung die Änderung der Geschwindigkeit eines Körpers pro Zeit. Beschleunigungen können negativ oder positiv sein, wobei ein Körper beschleunigt oder abgebremst wird.

Beschleunigung:
Formelzeichen: \( \overrightarrow{ a } \)
Einheit: \( \lbrack \frac{ m }{ s } \cdot \frac{ 1 }{ s } \rbrack = \lbrack \frac{ m }{ s^2 } \rbrack \) (Meter pro Sekunde-Quadrat)

Es gilt also: $$ \overrightarrow{ a } = \frac{ \Delta \overrightarrow{ v } }{ \Delta t } $$

Daraus lassen sich das Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz (1) und das Zeit-Weg-Gesetz (2) der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ableiten: $$ ( 1 ) \overrightarrow{ v } = \overrightarrow{ a } \cdot t $$ $$ ( 2 ) \overrightarrow{ s } = \frac{ 1 }{ 2 } \cdot \overrightarrow{ a } \cdot t^2 $$

Die Herleitung des Zeit-Weg-Gesetzes (2) der gleichmäßig beschleunigten Bewegung über beispielsweise das grafische Integrieren, wird hier nicht behandelt.

Hinweis:
Die in diesem Abschnitt beschriebenen Formeln beschreiben Bewegungen ohne eine Anfangsgeschwindigkeit und -weg (bei \( t = 0 \) ist \( s = 0 \) und \( v = 0 \)).
Faktoren, wie Reibung, etc. werden zum jetzigen Zeitpunkt vernachlässigt (siehe Kapitel 1.6 Idealisierung).

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Aufgaben:

1.)
Welcher Graf entsteht, wenn man eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung in ein t-s-Diagramm einzeichnet:

• (1)-eine Parabel
• (2)-eine Parallele zur x-Achse
• (3)-eine Parallele zur y-Achse
• (4)-eine trigonometrische Funktion

Tipp Nr.1:
Zeichne ein Diagramm und betrachte die sich ändernden Größen.

Tipp Nr.2:
Beachte das Quadrat.

Lösung:
Es entsteht eine Parabel, denn \( \overrightarrow{ s } = \frac{ 1 }{ 2 } \cdot \overrightarrow{ a } \cdot t^2 \) entspricht einer Parabel der Form \( f(x) = b \cdot x^2 \), wobei b ein Vorfaktor ist.

Lösung:

2.)
Ein Sportwagen beschleunigt von \( 0 \) auf \( 100 \) (\( 0 \frac{ km }{ h } \) auf \( 100 \frac{ km }{ h } \)) in 4 Sekunden. (Hier wird nun angenommen, dass die Beschleunigung des Sportwagens konstant ist.) Dabei legt er eine Strecke zurück. Wie lange braucht ein Radfahrer mit einer Beschleunigung von \( 1 \frac{ m }{ s^2 } \) für dieselbe Strecke?

Tipp Nr.1:
Berücksichtigen sie die Einheit der Geschwindigkeit.

Tipp Nr.2:
Es sind zwei Rechnungen nötig.

Lösung:
Um die vom Sportwagen benötigte Strecke zu berechnen muss vorerst die Geschwindigkeit in \( \frac{ m }{ s } \) umgerechnet werden. Danach kann man durch umstellen von \( \overrightarrow{ s } = \frac{ 1 }{ 2 } \cdot \overrightarrow{ a } \cdot t^2 \) die Zeit berechnen, die der Fahrradfahrer für die Streche benötigt. $$ v_1 = 0 \frac{ km }{ h } = 0 \frac{ m }{ s } ; \space v_2 = 100 \frac{ km }{ h } \approx 28 \frac{ m }{ s } $$ $$ a_A = \frac{ \Delta v }{ \Delta t_A } = \frac{ v_2 - v_1 }{ \Delta t_A } = \frac{ 28 \frac{ m }{ s } }{ 4 s } = 7 \frac{ m }{ s^2 } $$ $$ s = \frac{ 1 }{ 2 } \cdot a_A \cdot { t_A }^2 = \frac{ 1 }{ 2 } \cdot 7 \frac{ m }{ s^2 } \cdot { 4 s }^2 = 56 m $$ $$ t_F = \sqrt{ \frac{ 2 \cdot s }{ a_F } } = \sqrt{ \frac{ 2 \cdot 56 m }{ 1 \frac{ m }{ s^2 } } } \approx 11 s $$ Der Fahrradfahrer benötigt also \( 11 s \) für dieselbe Strecke.

Lösung:
\( s \)

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